12  Formler

Astronomi kan godt opleves som fyldt med formler – mest fordi astronomi bruger fysik som et værktøj til at forstå og beskrive astronomiske objekter og fænomener. Nedenfor er en række af de formler man kan støde på oplistet. Først kommer en liste med de allervigtigste formler. Det er formler, som kan bruges direkte til at lave beregninger på baggrund af astronomiske observationer.

Dernæst følger et afsnit med andre formler, som mest skal forstås som et redskab til at forstå den fysiske baggrund for astronomien. Det er med andre ord mere fysik end astronomi.

12.1 Vigtige formler

De fleste formler optræder i flere udgaver. D

12.1.1 Keplers 3. lov

For en planet med den halve storakse \(a\) og perioden \(T\) gælder at \[ \frac{T^2}{a^3}=k \] hvor \(k\) er en konstant. I solsystemet er konstanten \(k=1\), hvis man måler afstande i astronomiske enheder (AE) og tid i år.

Hvis Keplers 3 lov bruges med andet end Solen som centralt objekt, kan man i stedet bruge Newtons udgave af formlen: For to legemer med masserne \(m_A\) og \(m_B\) kan konstanten \(k\) beregnes, så \[ \frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi}{G·(m_A+m_B)} \] Her er \(G=6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text N \cdot \text m^2}{\text{kg}^2}\) den universelle gravitationskonstant.

For et let legeme, der kredser omkring et tungt centrallegeme, med massen \(M\) kan man med god tilnærmelse skrive loven som \[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi}{G·M} \] Eller med massen \(M\) isoleret \[ M = \frac{4\pi^2a^3}{G·T^2} \]

12.1.2 Afstandsmodulet

For en stjerne med den tilsynelanden størrelsesklasse \(m\) og absolut størrelsesklasse, \(M\), kalder man værdien af \(m-M\) for afstandsmodulet. Det kaldes afstandsmodulet, fordi værdien afhænger af afstanden \(d\) (målt i parsec): Hvis man kender \(m\) og \(M\) for en stjerne, kan afstanden \(d\) beregnes: \[ d= 10^{(m-M+5)/5} \] Endelig kan den absolutte størrelsesklasse \(M\) bestemmes ud fra \(m\) og \(d\): \[ M = m - 5 \log_{10}(d) + 5 \]

12.1.3 Parallakse

Parallakse-vinklen er halvdelen af den vinkel, som en stjerne “rokker” frem og tilbage på himlen i løbet af et år, set fra Jorden. Hvis man måler en stjernes parallakse-vinkel \(p\), kan man beregne afstanden, \(d\), til den: \[ d=\frac{1}{p} \] hvor parallaksen har enheden \(''\)​ (buesekunder), og afstanden har enheden parsec.

Undertiden kan man opleve, at parallakse-vinkler måles i mAS. Det er milli-buesekunder, altså \(\tfrac1 {1000} {}''\). Hvis det er tilfældet, skal vinklen derfor ganges med 1000 før den indsættes i formlen.

12.1.4 Levetid på hovedserien

Levetiden af en stjerne på hovedserien, som har en masse, \(M\), mellem 2 og 55 solmasser, kan beregnes på denne måde: \[ \text{levetid}= \left( \frac{M}{M_{\text{sol}}}\right)^{-2.5}·10^{10}~\text{år} \] her er \(M_\text{sol}\) solens masse.

Indholdet af parentesen \(\frac{M}{M_\text{sol}}\) kan forstås som massen af stjernen målt i solmasser. Hvis en stjerne f.eks. vejer 5 gange så meget som solen, så er \(\frac{M}{M_\text{sol}}=5\)

12.1.5 Rødforskydning

Rødforskydningstallet \(z\) er et mål for, hvor meget en målt bølgelængde \(\lambda_{\text{målt}}\) afviger fra den tilsvarende bølgelængde som vi ville måle den i et laboratorium, \(\lambda_{\text{lab}}\): \[ z=\frac{\lambda_{\text{målt}-\lambda_{\text{lab}}}}{\lambda_{\text{lab}}} \] Rødforskydningstallet \(z\) fortæller som en brøk, hvor mange procent en bølgelængde har ændret sig. Hvis f.eks. \(z={0.1}\) betyder det, at bølgelængden er blevet 10% længere. Hvis \(z\) er negativ er bølgelængden blevet kortere. Det kaldes blåforskydning.

Rødforskydning kan forstås en ved hjælp af relativitets teori (man kalder det en relativistisk effekt). Den skyldes, at lyskilden og modtageren bevæger sig med hastigheden \(v\) i forhold til hinanden. Hastigheden \(v\) kan beregnes med formlen \[ v=z·c \] hvor \(c={3·10^8}~\text{m/s}\) er lysets hastighed.

12.1.6 Hubbles lov

Hubbles lov siger, at hastigheden \(v\) af en galakse (målt i \(\frac{\mathrm{km}}{\mathrm s}\)) er proportional med afstanden, \(d\), til galaksen (målt i Mpc – millioner parsec): \[ v=H_0·d \] Her er \(H_0\) en kontant som kaldes Hubble-konstanten. Der er ikke enighed om værdien af \(H_0\). Forskellige metoder giver forskellige resultater, og det er et af de store uløste problemer i moderne kosmologi. Men værdien af \(H_0\) er enten ca. 67 eller 73 \(\frac{\frac{\mathrm{km}}{\mathrm s}}{\mathrm{Mpc}}\)

Hvis man har målt hastigheden \(v\) kan afstanden \(d\) bestemmes \[ d =\frac{v}{H_0} \]

12.1.7 Tilsyneladende størrelsesklasse

Den tilsyneladende strørrelseklasse af en stjerne er defineret ud fra intensiteten \(I\) af det lys vi på Jorden modtager fra stjernen i forhold til intensiteten \(I_{\text{Vega}}\) af af lyset som vi modtager fra stjernen Vega: \[ m = -2{,}5 ·\log_{10} \left(\frac{I_{\text{stjerne}}}{I_{\text{Vega}}} \right) \]

12.1.8 Masse-lysstyrke-relationen

Man har fundet en sammenhæng mellem en stjernes lysstyrke (luminositeten), \(L\), og dens masse \(M\) (pas på: her er \(M\)​ ikke den absolutte størrelsesklasse). For stjerner med masser mellem 2 og 55 solmasser kan sammenhængen skrives som \[ L = \text{konstant}· M^{3{,}5} \]

12.2 Andre knap så vigtige formler fra fysik

12.2.1 Lys og bølger

Lys kan beskrive som bølger, og sammenhængen mellem lysets hastighed, frekvens og bølgelængde kan beskrives ved den såkaldte bølgeligning: \[ \text{hastighed}= \text{bølgelængde}·\text{frekvens} \] eller \[ c = \lambda· f \] Da lysets hastighed i det tomme rum altid er den samme, betyder det, at når man kender lysets bølgelængde, så kan man bestemme dets frekvens, og omvendt: \[ \lambda = \frac{c}{f} \] og \[ f = \frac{c}{\lambda} \]

12.2.2 Energien af en foton

Energien af en foton med frekvensen \(f\): \[ E_{\text{foton}} = h · f \] Energien af en foton med bølgelængden \(\lambda\): \[ E_{\text{foton}} = \frac{h·c}{\lambda} \]

12.2.3 Wiens forskydningslove

Et absolut sort legeme med temperaturen \(T\) udsender stråling ved alle bølgelængder. Den bølgelængde hvor intensiteten af strålingen er størst er \[ \lambda_{\text{max}}= \frac{2{,}898·10^6~\text{nm}·\text K}{T} \]

12.2.4 Stefans lov

Intensiteten i watt per kvadratmeter af det lys som udsendes fra et absolut sort legeme med temperaturen \(T\) er givet ved \[ I= \sigma· T^4 \] hvor \(\sigma = 5{,}6704·10^{-8}~{\text W/ (\text m^2·\text K^4)}\) kaldes Stefan-Boltzmanns konstant.

12.2.5 Bohrs atommodel

Når en elektron i et atom springer fra et niveau, \(m\), til et lavere niveau, \(n\), udsendes en foton med en energi, som er lig med forskellen mellem de to energiniveauer for elektronen \[ E_{\text{foton}} = E_m - E_n \] Ifølge Bohrs model er energien af et eletron-niveau givet ved \[ E_n = -\frac{h·c·R}{n^2} \] hvor \(R={1)097667·10^7}~{\text m^{-1}}\) er Rydbergs konstant, \(h = {6{,}626·10^{-34}}~{\text J·\text s}\) er Plancks konstant og \(c = 3·10^8~\text{m/s}\) er lysets hastighed.

Sammenhængen mellem bølgelængden \(\lambda\) af den udsendte foton og elektron-niveauerne \(m\) og \(n\) er givet ved Rydbergformlen: \[ \frac{1}{\lambda}= R · \left( \frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2} \right) \]

12.2.6 Luminositet

Luminositeten (udstrålingen mål i watt) af et legeme er lig med intensiteten \(I\) ganget med overflade arealet \(A\): \[ L = I · A \] For et kugleformet legeme med radius \(R\) og temperaturen \(T\) giver det ved anvendelse af Stefans lov \[ L = 4 R^2 · \sigma· T^4 \]

12.2.7 Energi-masse sammenhængen

Masse kan omdannes til energi – det er f.eks. det der sker i pp-processen. Når massen ændres med \(\Delta m\) ændres energien ifølge relativitetsteorien med \(Delta E\). Sammenhængen er \[ E = - m · c^2 \] Minustegnet skyldes, at når massen falder, så stiger energien og omvendt. \(c\) er som altid lysets hastighed på \(3·10^8~\text{m/s}\).