5 Bevægelser i solsystemet
I dette kapitel vil vi se nærmere på det fysiske indhold af nogle af de bidrag til astronomiens histore, vi så på i første kapitel.
5.1 Keplers love
Som nævnt i første kapitel formulerede Johannes Kepler tre love, som beskriver planeternes bane omkring Solen. Et af de problemer, han skulle løse, og som ikke kunne forklares med de modeller man havde på den tid, er den såkaldte retrograde bevægelse: Normalt vil Mars, hvis man sammenligner dens position på nattehimlen fra nat til nat, hver nat befinde sig lidt længere mod øst, set fra Jorden. Den ser altså ud til at bevæge sig fra vest mod øst. Men med 26 måneders mellemrum ændrer det sig, og Mars bevæger sig i en periode på et par måneder baglæns på himlen (stadig set fra Jorden), og altså i stedet fra øst mod vest. Dette kaldes en retrograd bevægelse, og det var et problem, som allerede Tycho Brahe var opmærksom på. Figur 5.1 viser en illustration af en retrograd bevægelse af Mars på nattehimlen.
Keplers løsning på problemet er formuleret i tre love, som tilsammen beskriver, hvordan planeterne bevæger sig i ellipseformede baner omkring Solen. Vi vil derfor kort se på ellipsen som en geometrisk figur:
En ellipse er en geometrisk figur. Den er defineret ved, at for alle punkter på ellipsen, gælder det, at summen af afstanden til to faste punkter er den samme, som vist på figur 5.2. De to faste punkter kaldes ellipsens brændpunkter, og er på figuren vist som \(F_1\) og \(F_2\). En ellipse kan tegnes ved, at fastgøre en snor i de to punkter brændpunkter, og føre en blyant rundt, så snoren er spændt ud, som. Resultatet er en figur, der kan opfattes som en slags “aflang cirkel”, med en lang akse, som kaldes ellipsens storakse. Det viser sig at halvdelen af længden af storaksen er vigtig. Denne længde har symbolet \(a\), og kaldes “den halve storakse”. Den korte akse kaldes tilsvarende lilleaksen, og symbolet \(b\) bruges om dens halve længde, som vist på figur 5.3.
Afhængig af størrelserne af \(a\) og \(b\) kan ellipsen være mere eller mindre langstrakt. Det kan beskrives ved hjælp af et tal, der kaldes excentriciteten: \[ e = \sqrt{1 - \displaystyle \frac{b^2}{a^2}} \] Værdien af \(e\) ligger mellem 0 og 1. For \(e=0\) får man en cirkel, og jo tætter \(e\) kommer på 1, jo mere langstrakt bliver ellipsen. Hvis man kender \(e\) og den halve storakse \(b\), kan den halve lilleakse bestemme med formlen \[ b =a · \sqrt{1-e^2} \]
5.1.1 Keplers første lov
Keplers første lov siger, at planeterne bevæger sig i ellipseformede baner omring Solen. Solen er placeret i det ene af ellipsens to brændpunkter, som vist på figur 5.4.
Det punkt på ellipsebanen, hvor planeten er tættes på Solen kaldes perihel, og afstanden fra Solen i dette punkt kaldes perihelafstanden, \(r_p\). Det punkt på banen, der ligger længst fra Solen kaldes aphel, og den tilsvarende afstand, \(r_a\) kaldes for aphelafstanden. Lægger man perihelafstanden og aphelafstanden, får man længden af storaksen: \[ r_p + r_a = 2a \]
Kender man excentriciteten, \(e\), af ellipsen, kan både \(r_p\) og \(r_a\) beregnes ud fra den halve storakse, \(a\):
\[ \begin{aligned} r_p &= (1-e)·a \\ r_a &= (1+e)·a \end{aligned} \]
Kender man omvendt \(r_p\) og \(r_a\), så kan excentriteten beregnes med formlen \[ e= \frac{r_a-r_p}{r_a+r_p} \]
5.1.2 Keplers anden lov
Planeternes hastighed varierer alt efter, hvor på ellipsebanen de befinder sig. Hvis man forestiller sig et linjestykke, som forbinder Solen og en planet, vil linjestykket bevæge sig over lige store arealer, i lige store tidsrum. Det er indholdet af Keplers anden lov.
Figur 5.5 viser tre farvede arealer. Hvert areal svarer til, at planeten har bevæget sig i samme tidsrum (f.eks. en måned) langs dens bane. Hvis planeten bevægede sig med samme hastighed langs banen, ville arealerne ikke blive lige store. Men hastigheden varierer sådan, at arealene faktisk bliver lige store: Når planeten er tæt på Solen, bevæger den sig hurtigere og omvendt bevæger den sig langsommere, når den er langt fra Solen.
En konsekvens af Keplers anden lov er, at planetens hastighed vil være størst i perihel, og mindst i aphel. Man kan vise, at hvis man kalder aphelhastighden for \(v_a\) og perihelhastighede \(v_p\), så gælder der, at \[ v_a · r_a = v_p · r_p \]
5.1.3 Keplers tredje lov
Keplers tredje lov siger, at hvis \(a\) er planetens gennemsnitslige afstand fra Solen, og \(T\) er den tid, det tager planeten at bevæge sig én gang rundt om solen, vil får man samme værdi for alle planeterne, hvis man beregner værdien af \(T^2/a^3\). Det kan man skrive som: \[ \frac{T^2}{a^3} = \text{konstant} \] Tabel 5.1 viser omløbstiden \(T\) og middelafstanden \(a\) for de planeter, som man kendte på Keplers tid. Værdien af konstanten i Keplers 3. lov afhænger af, hvilke enheder man måler tiden og afstanden i. I tabellen er omløbstiden angivet i (jord)år, mens middelafstanden er angivet i en enhed, som kaldes en astronomisk enhed (AE). En astronomisk enhed er lig med Jordens middelafstand til Solen, som er givet ved \[ 1 \text{ AE} = 149.6 \text{ millioner km}=1.496·10^6 \text{ km} = 149.6·10^9\text{ m} \]
| Planet | Omløbstid T i år | Middelafstand a i AE |
|---|---|---|
| Merkur | 0.241 | 0.387 |
| Venus | 0.615 | 0.723 |
| Jorden | 1 | 1 |
| Mars | 1.881 | 1.524 |
| Jupiter | 11.86 | 5.203 |
| Saturn | 29.46 | 29.46 |
For planeterne (og andre objekter i) solsystemet bliver Keplers tredje lov særligt simpel, hvis perioden \(T\) måles i år (jordår) og den halve storakse måles i astronmiske enheder (AE), for så får konstanten værdien 1. Vi ser for nemheds skyld bort fra enheder og skriver det som \[ \frac{T^2}{a^3}= 1 \] Det kan benyttes til nemt at beregne \(T\) eller \(a\): \[ \begin{aligned} T &= \sqrt{a^3} = a^{\frac{3}{2}} \\ a &= \sqrt[3]{T^2} = T ^{\frac{2}{3}} \end{aligned} \]
I dag ved vi, at Keplers love ikke bare gælder i vores solsystem. De gælder således også for planeter omkring andre stjerner, for satellitter omkring Jorden eller Solen, for Månen omkring Jorden og for måner omkring andre planeter. Blot skal man udskifte værdien af konstanten, med en værdi, som afhænger af massen af det legeme som planeten, månen eller satellitten kredser omkring. Keplers love er derfor universelle. Men det havde Kepler ikke mulighed for at opdage.
Med sine tre love kunne Kepler nu forklare Mars’ retrograde bevægelse: Med 26 måneders mellemrum bliver Mars indhentet af Jorden, og så at sige overhalet indenom. På figur 5.6 er Jorden er vist som den blå planet og Mars som den røde. Jorden bevæger sig fra punkt 1 til 5 og linjernne gennem de to planeter viser, hvor Mars’ position vil være, set fra Jorden. Når Jorden overhaler Mars indenom, vil det i en kort periode se ud som om Mars bevæger sig modsat af, hvad den plejer.
Ca. 70 år efter Kepler i 1618 fandt sin tredje lov, kunne Newton udvide, og forklare den. Udvidelsen bestod i, at det ikke blot er planeten, der kredser omkring objektet, men at de begge kredser i ellipsebaner omkring deres fælles tyngdepunkt. Figur 5.7 viser to legemer \(A\) og \(B\), som kredser omkring deres tyngdepunkt.
Newton kunne nu vise, at Keplers lov kunne skrives som \[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G·(m_A+m_B)} \] hvor \(m_A\) og \(m_B\) er masserne af de to legemer, og \(G\) er Newtons universelle gravitationskonstant, som har værdien \(G={6.67·10^{-11}}~{\text N ·\text m^2/\text{kg}^2}\). Ofte vil det ene legeme været meget tungere end det andet, som det f.eks. er tilfældet med Solen og Jorden. Når det er tilfældet, vil man ikke begå en ret stor fejl, ved kun at medtage den største masse i nævneren i ligning [eq:kepler3b]. Hvis man kalder den centrale (store) masse for \(M\), kan Keplers 3. lov derfor skrives som \[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G·M} \] Højresiden er altså konstant, som i ligning [eq:kepler3a], men man kan nu se, at den afhænger af massen af det centrale objekt (stjernen). Hvis man kender både perioden \(T\) og den halve storakse, \(a\), kan det bruges til at bestemme størrelsen af den centrale masse: \[ M = \frac{4\pi^2a^3}{G·T^2} \]
5.1.4 Hohmann-banen
Hohmann-banen er den mest brændstofs-økonomiske bane, som et rumfartøj kan følge, ved en rejse mellem to planeter. Den består af en ellipse bane, der i aphel og perihel tangerer banerne for de planter man rejser med. Figur 5.8 viser Hohmann banen fra Jorden til Mars. For at en sådan rejse skal kun finde sted er det vigtigt, at den planet, man skal rejse til er i den rigtige position ved afrejsen, sådan at den er på det rette sted, når rumskibet tangerer planetens bane. For Jorden og Mars betyder det, at Mars skal befinde sig i en vinkel på 44 ° foran Jorden i sin bane ved afrejsen. Når rumskibet når frem, vil Jorden have overhalet Mars indenom, så den nu er 75° foran Mars i sin bane.
5.2 Årstider og nat og dag
En af de ting, som man har været opmærksom på siden oldtiden er årstidernes skiften. Udover at det er varmt om sommeren og koldt om vinteren, så har de skiftende årstider stor betydning for vores dagligdag: Landbruget er f.eks. helt afhængigt af, at vejret arter sig, så planterne kan spire i foråret, vokse i løbet af sommeren og høstes sidst på sommeren eller i efteråret.
I løbet af et år skifter vejret og temperaturen. Det er varmt om sommeren og koldt om vinteren. Man kunne forestille sig, at denne ændring i temperatur skyldes, at Jordens afstand til Solen ændrer sig i løbet af året. Men selv om Jordens afstand til Solen skifter i løbet af året, er det faktisk ikke det, som er forklaringen.
For ud over at temperaturen ændrer sig, så sker der også en ændring med dagslyset: Dagene er længere om sommeren, og natten er kortere. Dagene er også lysere om sommeren, for Solen står højere på himlen. Hvis man følger Solens bane hen over himlen i løbet af en dag, vil man se at Solens bane er forskellig på forskellige årstider, som vist på figur 5.9.
Når Solen om sommeren står højere på himlen, end den gør om vinteren, betyder det, at sollyset bliver spredt over et mindre areal, som vist på figur 5.10. Sollyset er derfor mere intenst om sommeren, og derfor modtager jordoverfladen mere energi per kvadratmeter om sommeren, end om vinteren. Og det er grundet til, at det bliver varmere om sommeren end om vinteren. Så for at forklare årstiderne, skal vi altså forklare, hvorfor solens bane på himlen ændrer sig i løbet af året.
For at forstå det, skal vi først forstå Jordens rotation. Mens Jorden kredser omkring Solen på et år (som helt præcist er 365.24 døgn), så roterer Jorden omkring sin egen akse én gang i døgnet. Det er det, som gør forskellen på dag og nat. Når et punkt på Jorden, f.eks. et sted i Danmark, vender mod Solen, er det dag. Men efterhånden som Jorden roterer videre, vil punktet (Danmark) ikke længere vende mod Solen. Og så har vi nat.
Man skelner mellem to forskellige døgn: soldøgnet og stjernedøgnet, og de er ikke lige lange. Soldøgnet er 24 timer, og svarer til den tid, det tager for Jorden at rotere én gang om sin egen akse i forhold til Solen. Stjernedøgnet er lidt kortere: 23 timer og 56 minutter og 4,091 sekunder. Forklaringen er, at når Jorden har roteret én gang i forhold til Solen, har den samtidig flyttet sig lidt i sin bane omkring Solen. Og dermed har den samtidig roteret en lille smule mere end én gang i forhold stjernerne. Derfor er stjernedøgnet lidt kortere end soldøgnet.
Det, der har betydning for årstiderne, er at den akse, som Jorden roterer om, står skråt i forhold til retningen mod Solen, som vist på figur 5.11. Rotationsaksen har en vinklel på 23.45° i forhold til retningen vinkelret på Jordens bane. Denne vinkel kaldes for Jordens inklination. Man mener at årsagen til at Jorden har en inklination er, at Jorden tidligt (for omkring 4,5 mia år siden) er stødt sammen med et andet himmellegeme, kaldet Teia. Sammenstødet har været så voldsomt at Jordens rotationsakse er blevet ændret. Samtidig er materiale fra Jorden er slynget ud i rummet, og ud fra det er Månen dannet.
Rotationsaksen peger den samme vej ud i rummet, mens Jorden kredser omkring Solen. Det betyder, at når Jorden er på den ene side af Solen, vil det altid være et punkt på den nordlige halvkugle, som peger ind mod Solen. Derfor står Solen højt på den nordlige halvkugle og lavt på den sydlige halvkugle. Der er derfor sommer på den nordlige halvkugle og vinter på den sydlige. Når Jorden så et halvt år senere har bevæget sig halvvejs rundt om Solen, er situationen den modsatte. Det er vist på figur 5.12.
I punktet til højre på figur 5.12 er Jorden nærmest Solen. Det kaldes vintersolvhverv og optræder hvert år omkring d. 21 december. Det svarer på den nordlige halvkugle til årets korteste dag.
I punktet øverst på figuren, er dag og nat lige lange, og det kaldes forårsjævndøgn, og optræder d. 19 eller 20. marts.
Helt til venstre finder vi sommersolhverv, der svarer til årets længste dag og korteste nat. Det indtræffer den 20. eller 21 juni. Altså lige før Sankt Hans.
Endelig er det nederste punkt i diagrammet efterårsjævndøgn, som indtræffer omkring d. 22.-23. september.
5.3 Månen – Jordens følgesvend
5.3.1 Månens faser
Månen kredser omkring Jorden, i en ellipseformet bane (på samme måde, som Jorden kredser omring Solen). Hvis man kunne se solsystemet udefra, ville man man kunne se, at det tager Månen 27.3 dage at rotere en gang rundt om Jorden. Det kaldes for Månens sideriske periode. Men i løbet af den tid, bevæger Jorden sig et godt stykke vej i sin bane omkring Solen. Derfor tager det lidt længere tid, før Månen har fuldført et kredsløb, set fra Jorden. Det tager 29,5 dage, og kaldes Månens synodiske periode, og svarer omtrent til en måned.
Mens Månen kredser om Jorden, roterer den samtidig om sig selv. Månens rotation er lidt speciel, idet den har det, der kaldes bunden rotation. Det betyder, at når Månen kredser én gang rundt om Jorden, så roterer den samtidig netop én gang omkring sig selv. Det har den effekt, at Månen altid vender den samme side mod Jorden.
Figur 5.13 viser et billede af Månens forside, som er den side, der vender mod Jorden. Billedet svarer til det, vi kalder fuldmåne. I løbet af en Måneperiode (den synodiske, set fra Jorden, altså 29,5 dage) varierer det, hvordan Månen ser ud, set fra Jorden.
Forløbet er vist på figur 5.14, og starter med en helt mørk måne (1). Det kaldes nymåne. Herefter er månen tiltagende (2-4) indtil der er fuldmåne ved (5). I (5-8) er månen aftagende indtil det igen bliver nymåne, og mønstret gentager sig.
Man taler også om månens faser: nymåne, tiltagende måne, fuldmåne og aftagende måne. For at forstå disse faser, er man nødt til at betragte Månens bane set i forhold til sollyset. På figur 5.15 kommer Solens lys ind fra højre. I den inderste cirkel omkring Jorden ses hvordan Månen er oplyst, og i den yderste cirkel ses det, hvordan Månen ser ud set fra Jorden.
Ved nymåne er den side, der vender mod Solen oplyst, mens den del der vender med Jorden ligger i skygge. Set fra Jorden vil nymåne derfor svare til en helt mørk skive (1 på figur 5.14). Når månen derefter bevæger sig rundt i sin bane, vil man fra Jorden gradvist kunne se mere og mere af den side af Månen, som er oplyst af sollyset. Først ser vi månen som en seglmåne (2), så en halvmåne (3). Når Månen er nået halvvejs rundt i banen, vil den side, som vender mod Jorden være fuldt oplyst, og vi har fuldmåne (4) osv.
5.3.2 Solformørkelser
Gennemsnitsafstanden fra Jorden til Månen er 384000 km, men gennemsnitsafstanden fra Jorden til Solen er \(1\text{ AE}={149.6·10^6}\text{ km}\). Derfor kan forholdet mellem middelafstanden til Månen og middelafstanden til Solen beregnes til at være \[ \frac{{384000}~\text{km}}{{149.6·10^6}~\text{km}} \approx 0.00257 \]
Afstanden til Månen er altså kun omkring en kvart procent af afstanden til Solen. Eller sagt på en anden måde: Solen ligger omring 390 gange længere væk fra Jorden end Månen gør. Alligevel fylder Solen omtrent lige så meget på himlen set fra Jorden. Det betyder, at hvis månen på sin bane omkring Jorden bevæger sig ind imellem Jorden og Solen, kan Månen komme til at skygge for Solen. Det er det vi kalder en solformørkelse. Figur 5.16 viser et billede af en solformørkelse i 1999. Her dækker Månen hele Solen, og solformørkelsen siges derfor at være total.
En solformørkelse er ikke altid total: Fordi Månens afstand til Jorden varierer, vil det ikke altid være sådan at Månens skygge er ikke stor nok til at dække hele Solen. Figur 5.17 viser skematisk hvordan situationen ser ud under en solformørkelse. Det område, hvor der er total formørkelse kaldes umbra eller totalitetsområdet. Det er er altså det område, hvor Månen dækker helt for Solen. Herudover er der et område, der kaldes penumbra eller halvskyggeområdet. Hvis man befinder sig i dette område, vil Månen dække en del af Solen, men ikke det hele. Jo nærmere man er kanten af penumbra, jo mindre en del af Solen vil være dækket.
Solformørkelser er nogle af de mest imponerende naturfænomener, man kan opleve. Igennem menneskehedens historie har solformørkelser været dyrket og forstået religiøst. En af den tidlige astronomis fornemste opgaver var derfor at kunne forudsige solformørkelser, og det er ikke helt så enkelt, som man måske kunne forestille sig. For selv om det er nymåne med 29.5 dages mellemrum, og Månen derfor befinder på den side af Jorden, der kunne give en solformørkelse, så er det ikke altid at Månes skygge rammer Jorden. Det skyldes, at den ellipseformede bane, som Månen kredser i, er vinklet en smule i forhold til Jordens bane omkring Solen. Helt præcist med 5,15°.
Figur 5.18 viser, hvordan månens bane er placeret i forhold til Jordens på fire tidspunkter i løbet af et år. På de to positioner til højre og venstre, vil Månen ved nymåne ligge over eller under Jordens bane. Her rammer Månens skygge ikke Jorden, og der er ikke solformørkelse. På den øverste og nederste position, er der derimod mulighed for solformørkelse, hvis Månen i sit kredsløb om Jorden, altså netop er nået til det punkt der ligger på en linje mellem Jorden og Solen. For at komplicere billedet yderligere, så skifter den retning, som månebanes ellipsebane har, med to perioder på 8,85 år og 18,6 år. Det gør det til et ret kompliceret regnestykke at bestemme, hvornår der er solformørkelse. Totale solformørkelser er ret sjældne fænomener. Næste gang en total solformørkelse kan ses fra Danmark er i år 2142. Og den vil kun kunne ses på Bornholm og Christiansø. Derefter skal man vente til år 2426 for at se en total formørkelse i Danmark.
Et andet fænomen, der også skyldes Månens bane, og som man af og til støder på, er begrebet “supermåne”. Det er set fra et astronomisk synspunkt ikke et særlig interessant fænomen. Og egentlig heller ikke særligt “super”. Denne såkaldte supermåne indtræffer, når det er fuldmåne samtidig med, at Månen er på det sted i sin bane, hvor den er tættest på Jorden. Når Månen er tættest på Jorden, er den omkring 40000 km tættere på end middelafstanden på 384000 km. Derfor vil Månen, set fra Jorden, forekomme en smule større end ellers. Men forskellen er kun omkring 12-15%, så den er vanskelig at se, blot ved at kigge på månen.
5.4 Måneformørkelser
Ligesom Jorden ved en solformørkelse kan bevæge sig ind i Månens skygge, kan Månen omvendt bevæge sig ind i Jordens skygge. Når det sker, taler man om, at der er en måneformørkelse. Ligesom solformørkelser, så kræver måneformørkelser, at Jorden er i den rette position (inden for 12.1 ° fra det øverste eller det nederste position på figur 5.18, samtidig med, at Månen er fuld (altså at Månen befinder sig på den anden side af Jorden i forhold til Solen). Herudover er det nødvendigt, at Månens afstand til Jorden ikke er for stor, at den ikke rammer Jordens skygge.
Der kan højst optræde tre måneformørkelser på et år, og ligesom solformørkelser, kan måneformørkelser være delvise og totale. Totale måneformørkelser kan vare op til 1 time og 40 minutter, afhængigt af, hvordan Månen rammer skyggen. Men selv under en total måneformørkelse, kan man stadig se Månen. Den vil fremstå som svagt orange, på grund af sollys der afbøjes i Jordens atmosfære.
